Espacios Vectoriales

 Que son los espacios vectoriales

En álgebra lineal, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío $V$ de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores $u$, $v$ y $w$ en $V$ y todos los escalares $\alpha$ y $\beta$ reales.
Llamamos $u+v$ a la suma de vectores en $V$, y $\alpha v$ al producto de un número real $\alpha$ por un vector $v\in V$.
1. $u+v\in V$
2. $u+v=v+u$
3. $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$
4. Existe un vector nulo $0_V\in V$ tal que $v+0_V=v$
5. Para cada $v$ en $V$, existe un opuesto $\left(–v\right)\in V$ tal que $v+\left(–v\right)=0_V$
6. $\alpha v\in V$
7. $\alpha \left(u+v\right)=\alpha u+\alpha v$
8. $\left(\alpha +\beta \right)v=\alpha v+\beta v$
9. $\alpha \left(\beta v\right)=\left(\alpha \beta \right)v$
10. $1v=v$

Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que $V$ es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Que es un subespacio Vectorial ?

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original

propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios

Sea $W$ un subconjunto de un espacio vectorial $V$ $\left(W\subseteq V\right)$.
$W$ es subespacio de $V$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. $0_V$ está en $W$.
b. Si $u$ y $v$ están en $W$, entonces $u+v$ está en $W$.
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.

Observaciones

1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si $0_V$ está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si $0_V$ no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para $W$ porque éste es un subconjunto de $V$. Puede decirse que $W$ «hereda» esas propiedades de $V$.

4. Faltaría comprobar que cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$ (axioma 5 de espacios vectoriales):
Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.
Si tomamos $k=–1$, resulta:
Para cada $u\in W,\left(–1\right)u=–u\in W$.
Y por lo tanto cada vector de $W$ tiene su opuesto en $W$.
De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que $W$ es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de $V$.